Dubbio ricerca massimi e minimi con vincolo

Salve, ho provato a risolvere questo esercizio ma il massimo da me trovato non quadra con il risultato del testo.
$z=x^2-y^2$
vincolo $x-y^2-2=0$

esplicito la x nel vincolo e poi sostituisco:

$x=y^2+2$
$z=y^4+4y^2+4-y^2$
$z=y^4+3y^2+4$

calcolo la derivata prima e poi ne studio il segno.
$z'=4y^3+6y$
raccolgo la y
$y(4y^2+6)>0$
a questo punto la y è positiva a destra mentre la parentesi è una parabola sempre positiva.
pertanto in $x=0$ ho un punto di massimo

il testo segnala minimo in $(2;0)$ con $z=4$
credo a questo punto sia errato il testo
Voi che dite
Grazie mille

pertanto in $x=0$ ho un punto di massimo

Ci sono due errori in questa frase, trovali.

pertanto in $x=0$ ho un punto di massimo

Ci sono due errori in questa frase, trovali.

Sono un pirla, è y=0,
che cretino
dormo in piedi pardon
grazie sella per la pazienza

Salve, ho provato a risolvere questo esercizio ma il massimo da me trovato non quadra con il risultato del testo.
$z=x^2-y^2$
vincolo $x-y^2-2=0$

Proviamo un approccio diverso
Nella funzione $z=x^2 - y^2 $

Cerchiamo massimi, quando z é più grande possibile, e
Minimi, quando z é più piccolo possibile

Quindi per i massimi cercheremo di ridurre/annullare/invertire il contributo di $-y^2 $ che ci porta giù il valore

Il meglio che possiamo fare è assegnare a y il valore zero, se assegniamo valori inferiori a zero, cioè valori negativi poi questi diventerebbero positivi perché eleviamo al quadrato e poi di nuovo negativi per via del meno davanti.
Per x, se non avessimo il vincolo potremmo assegnare valori sempre più grandi positivi, o più piccoli negativi e non troveremo mai un massimo assoluto.

Visto che abbiamo il vincolo
$x-y^2 - 2=0$

Vediamo cosa succede quando $y=0$
$x-0-2=0$
$x=2$
Quindi la coppia $( x;y) $ che ci restituisce il valore massimo Sarà $(2;0)$

Cosa mi proponi per il minimo?