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Buongiorno!
Sono alle prese con un problema del capitolo sullo studio di funzione e non riesco a risolvere il seguente quesito:

Considera la famiglia di funzioni $f(x)=2x^4-3x^2-2kx+3$.
1) Trova le coordinate dei punti di flesso in funzione di k e verifica che appartengono a una coppia di rette
parallele tra loro.
2) Determina i valori del parametro k in modo che la curva abbia un flesso a tangente orizzontale e verifica
che le curve corrispondenti sono tra loro simmetriche rispetto all’asse y.

1) Allora, nessun problema per trovare i punti di flesso F1 ed F2: ho calcolato la derivata seconda, l'ho posta maggiore di 0, ho trovato i 2 valori delle x e li ho sostituiti nella f(x) per ottenere le ordinate dei punti di flesso:
$F1(1/2;19/8-k)$ ed $F2(-1/2;19/8+k)$.
Per verificare che tali punti appartengono a due rette parallele dovrei verificare che i coefficienti angolari della rette passanti per F1 ed F2 siano uguali tra di loro (condizione di parallelismo).
Avevo ipotizzato di sostituire nella derivata prima le ascisse dei due punti di flesso ma così troverei 2 rette tangenti e non parallele.
Avevo pensato di scrivere il generico fascio di rette passanti per F1 ed F2 con m1 ed m2 incognite ed esplicitarli come: $m=[(y-y0)-q]/(x-x0)$ ma non sono giunta a nessun risultato significativo.

2) Per definire il punto di flesso a tangente orizzontale devo calcolare la derivata prima della funzione:
$f'(x)=8x^3-6x-2k=0$ e ho pensato di calcolarla nei due punti di flesso precedentemente trovati imponendo poi l'uguaglianza a 0 così da trovare i valori del parametro k $(k=+-1)$. Vi sembra corretto come ragionamento?

Grazie e buona giornata

Sinceramente lo trovo un quesito privo di senso, in quanto esistono infinite rette parallele passanti per due punti distinti. Invece, il quesito avrebbe senso se richiedesse di verificare che le rette tangenti al grafico di \(f\) nei suoi due punti di flesso sono o meno parallele. In questo caso, però, non sono parallele, quindi nemmeno questa pezza pare adatta a coprire il buco! Attendi qualcun'altro, non trovo un senso all'esercizio, spiace.

No, non chiede quello.
Al variare di $k$, in generale, cambiano le curve ma anche i punti di flesso; quello che viene richiesto è la verifica che per ogni curva la retta passante per i punti flesso abbia lo stesso coefficiente angolare.

I flessi mi vengono con i coefficienti angolari diversi ed entrambi dipendenti da $k$, quindi nessun requisito di parallelismo. Invece per ciascun flesso ottengo tangenti dipendenti da $k$, ma tutte con centro lo stesso punto. Quelle per $F_1$ hanno centro in $(0,9/8)$, quelle in $F_2$ in $(0, 29/8)$

E adesso ha molto più senso. Onestamente non avevo proprio capito cosa chiedesse l'esercizio.
Io credevo di dover trovare 2 distinte rette parallele e invece devo trovare la retta passante per i 2 flessi e studiare il coefficiente angolare. Grazie

@melia ha scritto:I flessi mi vengono con i coefficienti angolari diversi ed entrambi dipendenti da $k$, quindi nessun requisito di parallelismo. Invece per ciascun flesso ottengo tangenti dipendenti da $k$, ma tutte con centro lo stesso punto. Quelle per $F_1$ hanno centro in $(0,9/8)$, quelle in $F_2$ in $(0, 29/8)$

Però non sto dimostrando che appartengono a rette parallele che è invece quanto mi chiede l'esercizio.
Forse non ho capito bene la tua riposta?
Grazie

La mia risposta è che non trovo parallelismi, solo fasci di rette concorrenti