Prodotti notevoli

Ciao a tutti

ho un problema sulla scomposizione di questo piccolo polinomio (rimanendo sui reali):

$x^6-1$

Vi faccio vedere dove sono arrivato e il problema che incontro

$x^6-1 = (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^3+x+1) = $ dividendo il polinomio di quinto grado per $(x+1)$:

$= (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$

ora quel polinomio di quarto grado è sempre positivo e non ha radici razionali, tuttavia deve essere riducibile anche se non ha radici perchè di grado superiore al 2

che metodo posso usare per trovare una sua decomposizione?

Grazie mille

Lo stesso che hai visto per \(x^4+1\): somma e sottrai "qualcosa" per far comparire una differenza di quadrati.

Cavolo, a capirlo lo capisco, però quando dovrei farlo non riesco a vederlo tra le opzioni non avendo il metodo preciso da applicare, immagino mi serva un po di pratica per padroneggiarlo.

Ho provato ad applicarlo anche al binomio $x^6+1$:

$x^6+1 = (x^2+1)^3-3x^4-3x^2 = (x^2+1)^2 -3x^2(x^2+1) = (x^2+1)[(x^2+1)^2-3x^2] = (x^2+1)[(x^2+1)^2-(\sqrt3 x)^2] = (x^2+1)(x^2+1-\sqrt3x)(x^2+1+\sqrt3 x)$

ti torna?

PS grazie ancora

Eccetto un refuso al secondo passaggio dove hai scritto 2 invece di 3 a esponente, il resto va bene.
Chiaramente sono tutte cose su cui più ci si esercita e più si riescono ad individuare velocemente.

Per semplificare la scomposizione delle differenze di potenze consiglio
1) controllare se applicabile la differenza di quadrati,
2) controllare se è applicabile la somma o la differenza di cubi
3) se non applicabili allora applicare Ruffini

In questo caso si può applicare subito la differenza di quadrati $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$
A questo punto abbiamo il prodotto tra una differenza e una somma di cubi
$(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$

Un po’ più complicato è il caso della scomposizione di una somma di potenze seste che all’inizio è una somma di cubi e poi bisogna agire in modo un po’ diverso
$x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)=(x^2+1)(x^4+2x^2+1-3x^2)$ la seconda parentesi si scompone come hai già fatto tu. Tuttavia gli studenti delle classi prime, non avendo ancora studiato i radicali, si fermano al primo passaggio della scomposizione.

Grazie mille Melia, cercavo proprio questa scaletta mentale!

Quindi, traducendo i punti in matematichese

1) controllare se essenzialmente $a^n-b^n$ è riscrivibile in una forma $(x+ y)(x-y)$

2) controllare se è riscrivibile come $(x-y)(x^2+xy+y^2)$ o $(x-y)(x^2-xy+y^2)$

3) applicare Ruffini, cioè trovare eventuali radici e dividere il polinomio per $(x- radice)$

ho capito bene?