Primitive di $\frac{1}{x}$

Salve, generalmente la primitiva di $f(x)=\frac{1}{x}$ viene indicata come $F(x)=\ln |x| +c$ per una qualche costante $c$. Essendo però $f$ non definita in $x=0$ mi viene da pensare che non tutte le primitive possono essere scritte in questa forma. Ad esempio
$G(x)={(\ln |x| +a,if x>0),(\ln |x| +b,if x<0):}$
mi sembra essere tale che $G'=f$ ma se $a\ne b$ non mi pare sia possibile trovare un $c$ che la renda della forma precedente. Viene fatta qualche ipotesi aggiuntiva per poter restringere le primitive solo alla famiglia $\ln |x| +c$?

Esatto, e tra l'altro puoi fare lo stesso ragionamento con qualsiasi frazione il cui denominatore ha radici reali, come per esempio

$1/(x^2-1)$

Non so quale sia la convenzione usuale, aspetta gli analisti. In ogni caso, di solito le primitive si calcolano su intervalli (cioè prendendo intervalli come domini).

La tua riflessione è corretta, ma non c'è motivo di restringere a $ln|x|+c$.