Sviluppando i quadrati dell'equazione sopra rettangolata, si ha: \[
x^2-2x_cx+x_c^2+y^2-2y_cy+y_c^2=r^2
\] ossia, raggruppando opportunamente, si ha: \[
\boxed{x^2+y^2+({\color{red}{-2x_c}})x+({\color{green}{-2y_c}})y+\left({\color{blue}{x_c^2+y_c^2-r^2}}\right)=0}
\] Pertanto, imparando a memoria quest'altra forma e confrontandola con: \[
x^2+y^2-2kx+3=0
\] si ha una identità se e solo se: \[
\begin{cases}
{\color{red}{-2x_c}}=-2k \\
{\color{green}{-2y_c}}=0\\
{\color{blue}{x_c^2+y_c^2-r^2}}=3\\
\end{cases}
\quad \Leftrightarrow \quad
\begin{cases}
x_c=k\\
y_c=0\\
r^2=k^2-3\\
\end{cases}
\] da cui seguono i soliti tre casi di circonferenza immaginaria, degenere o reale (etichette da adattare
a seconda dei gusti degli autori del libro su cui si sta studiando, non sono universalmente accettate).
Insomma, ciò che hai scritto va bene, specie se il percorso di studi non prevede ancora il
metodo di completamento dei quadrati, in quanto poi quella è la via maestra, dato che implica meno memoria.
Naturalmente poi dipende da come si desidera affrontare gli studi. Al tempo del liceo, ero tra quelli a cui non interessavano le dimostrazioni, erano troppo faticose, bensì preferivo le scorciatoie consistenti nell'ingozzarsi di formule su formule, tant'è che chi più ne sapeva e più era considerato "bravo" (tra noi sbarbatelli intendo).
Poi, però, si impara a proprie spese che quelle scorciatoie non portano da nessuna parte, quindi si torna sui propri passi e si ricomincia a studiare solamente lo stretto necessario, il resto deve essere una conseguenza ricavabile all'occorrenza. Però, ecco, questo è un percorso lungo, non lo si matura dalla sera alla mattina.