Funzione polinomiale con parametro reale

[Francy2005]

Buongiorno, chiedo nuovamente il vostro aiuto per risolvere un problema del capitolo sulla derivabilità ed il calcolo differenziale.
Riporto di seguito il testo dell'esercizio:

Considera la famiglia di funzioni $f(x)=ax^3+(2a+1)x^2+3ax+2a$, al variare del parametro reale a.
a) Verifica che per ogni a appartenente ad R il grafico di f(x) passa per il punto A (-1;1).
b) Stabilisci per quali valori del parametro a la funzione f(x) è invertibile. Motiva la risposta.
c) Trova, se esiste, il valore del parametro a per cui f(x) è invertibile e, detta F(x) la funzione inversa, F'(1)=2.
d) Determina il valore di a per cui la funzione f(x) ha la derivata seconda che si annulla nell’ascissa del punto A. Per il valore di a trovato, traccia un grafico possibile della funzione f(x).
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Allora, io ho iniziato l'esercizio ragionando in questo modo:
a) Ho sostituito le coordinate del punto A in f(x) ed ho trovato un'identità che non dipende dal parametro a, pertanto in grafico passa per il punto A per ogni a appartenente ad R (f(-1)=-a+2a+1-3a+2a=1)
b) La funzione è polinomiale, continua e derivabile in tutto il suo dominio R. Ho pensato che per essere invertibile dovesse essere crescente, pertanto ho studiato il segno di f(x), calcolando il delta - che dipende da a - e mi risulta negativo e qui mi sono bloccata. Sicuramente sto facendo dei ragionamenti sbagliati...

Qualcuno sarebbe in grado di aiutami nello svolgimento di questo esercizio?
Grazie e buona giornata

[sellacollesella]

a) Ho sostituito le coordinate del punto A in f(x) ed ho trovato un'identità che non dipende dal parametro a, pertanto in grafico passa per il punto A per ogni a appartenente ad R (f(-1)=-a+2a+1-3a+2a=1).

Ok.

b) La funzione è polinomiale, continua e derivabile in tutto il suo dominio R.

Ok.

Ho pensato che per essere invertibile dovesse essere crescente.

Oppure decrescente. Più precisamente, una funzione continua in un intervallo è ivi invertibile se e solo se è strettamente monotona in tale intervallo; che poi sia strettamente crescente o strettamente decrescente non importa. Pertanto, comincerei con l'individuare le eventuali \(x \in \mathbb{R}\) tali per cui \(f'(x)=0\), quindi dobbiamo imporre in qualche modo che non esistano, ossia che risulti \(f'(x)>0\;\;\forall\,x\in\mathbb{R}\) oppure \(f'(x)<0\;\;\forall\,x\in\mathbb{R}\).

[Noodles]

b) Stabilisci per quali valori del parametro a la funzione f(x) è invertibile.

A rigore, poichè la derivabilità della funzione inversa non è richiesta:

$AA x in RR$

$[f'(x) lt= 0] vv [f'(x) gt= 0]$

Quindi, poichè:

$f'(x)=3ax^2+2(2a+1)x+3a$

necessariamente:

$\Delta/4 lt= 0 rarr -5a^2+4a+1 lt= 0 rarr a lt= -1/5 vv a gt= 1$

[Francy2005]

Grazie, più o meno ero giunta ancge io a questi risultati.
Il vero problema sono gli ultimi due punti che non so proprio risolvere.
Hai qualche suggerimento?

[Noodles]

Per quanto riguarda il terzo punto, poichè la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione, dovresti ricavare il parametro $a$ risolvendo il sistema sottostante:

$\{(f(x)=1),(f'(x)=1/2):} rarr \{(ax^3+(2a+1)x^2+3ax+2a=1),(3ax^2+2(2a+1)x+3a=1/2):}$

Tuttavia, riconsiderando il primo punto, necessariamente:

$[y=1] rarr [x=-1] rarr [a=5/4]$

Per quanto riguarda il quarto punto, non dovresti avere particolari problemi.

[LucaSt]

Ciao! Per la domanda (c) si impone $f'(1)=1/{F'(1)}=1/2$ cioè $10a+2=1/2$ che dà $a=-3/20$ che però non è nell'intervallo di invertibilità.
Per la domanda (d) si impone $f''(-1)=0$ e si determina il valore di a.

[Noodles]

Per la domanda (c) si impone ...

Premesso che stiamo trattando concetti di base, sei sicuro di quello che hai scritto?

[LucaSt]

Pardon, hai ragione \(f'(x_0)=\frac{1}{ F'(y_0)}\) e \(x_0=-1\) per \(y_0=1\), confermo a=5/4
:smt023