Buongiorno, chiedo nuovamente il vostro aiuto per risolvere un problema del capitolo sulla derivabilità ed il calcolo differenziale.
Riporto di seguito il testo dell'esercizio:
Considera la famiglia di funzioni $f(x)=ax^3+(2a+1)x^2+3ax+2a$, al variare del parametro reale a.
a) Verifica che per ogni a appartenente ad R il grafico di f(x) passa per il punto A (-1;1).
b) Stabilisci per quali valori del parametro a la funzione f(x) è invertibile. Motiva la risposta.
c) Trova, se esiste, il valore del parametro a per cui f(x) è invertibile e, detta F(x) la funzione inversa, F'(1)=2.
d) Determina il valore di a per cui la funzione f(x) ha la derivata seconda che si annulla nell’ascissa del punto A. Per il valore di a trovato, traccia un grafico possibile della funzione f(x).
_____________________________________________________________________
Allora, io ho iniziato l'esercizio ragionando in questo modo:
a) Ho sostituito le coordinate del punto A in f(x) ed ho trovato un'identità che non dipende dal parametro a, pertanto in grafico passa per il punto A per ogni a appartenente ad R (f(-1)=-a+2a+1-3a+2a=1)
b) La funzione è polinomiale, continua e derivabile in tutto il suo dominio R. Ho pensato che per essere invertibile dovesse essere crescente, pertanto ho studiato il segno di f(x), calcolando il delta - che dipende da a - e mi risulta negativo e qui mi sono bloccata. Sicuramente sto facendo dei ragionamenti sbagliati...
Qualcuno sarebbe in grado di aiutami nello svolgimento di questo esercizio?
Grazie e buona giornata