Dubbio sistema di disequazioni

Salve,
posto un esercizio inviatomi da un mio studente che però, secondo me, presenta errori in quanto trovo notevoli difficoltà nel risolvere.

${ ( (x^2-6x)/(x^2-3x+2)>=1 ),( (x+4)/(2x^2)+(x-5)/(3x^2-6x)<(2x+1)/(2x^2-4x) ):} $

Il mio problema è nella risoluzione della seconda disequazione:

scompongo i denominatori

$3x^2-6x = 3x(x-2)$
$2x^2-4x = 2x(x-2)$

riscrivo

${ ( (x^2-6x)/(x^2-3x+2)>=1 ),( (x+4)/(2x^2)+(x-5)/(3x(x-2))<(2x+1)/(2x(x-2)) ):} $


trovo mcm
$2x^2(x-2)3x$
mi concentro solo sulla seconda:

$((x-2)3x(x+4)+(2x^2)*(x-5))/(2x^2(x-2)3x) < (x*3x*(2x+1))/(2x^2(x-2)3x)$

svolgo i calcoli

$((3x^2-6x)(x+4)+(2x^3-10x^2))/(2x^2(x-2)3x) < (3x^2*(2x+1))/(2x^2(x-2)3x)$

$(3x^3+12x^2-6x^2-24x+2x^3-10x^2)/(2x^2(x-2)3x) < (6x^3+3x^2)/(2x^2(x-2)3x)$

porto tutto a sinistra

$(3x^3+12x^2-6x^2-24x+2x^3-10x^2-6x^3-3x^2)/(2x^2(x-2)3x)<0$

$(-x^3+3x^2-24x-10)/(2x^2(x-2)3x)<0$

da qui non so come gestirla, non è un cubo, non posso raccogliere parzialmente ne tantomeno totalmente, insomma non si può fare nulla, dite che l'esercizio è sbagliato? non è preso da un libro.
Grazie mille

In primis ti sei complicato la vita quando hai calcolato il minimo comune multiplo dei denominatori, il quale risulta essere \(6x^2(x-2)\). D'altro canto, l'errore decisivo l'hai commesso nell'ultimo passaggio, rivedi i conti.

Ultima modifica di sellacollesella il 19/02/2024, 22:05, modificato 1 volta in totale.

In primis ti sei complicato la vita quando hai calcolato il minimo comune multiplo a denominatore, il quale risulta essere \(6x^2(x-2)\). D'altro canto, l'errore decisivo l'hai commesso nell'ultimo passaggio, rivedi i conti.

Immagino sia vietato scrivere brutte cose
mi sono dimenticato $10x^2$ giusto?

mi sono dimenticato $10x^2$ giusto?

Esatto, hai scritto \(-10\) invece di \(-10x^2\). A quel punto puoi raccogliere \(x\) a numeratore, ecc.

$(-x^3+3x^2-24x-10x^2)/(2x^2(x-2)3x)<0$

completo

$(-x^3-7x^2-24x)/(2x^2(x-2)3x)<0$

raccoglimento totale
$(x(-x^2-7x-24))/(2x^2(x-2)3x)<0$

a questo punto studio segno di parabola e dell'altro fattore, idem sotto e prendo gli intervalli negativi.
grazie mille.....

Prima magari semplifica la disequazione: \[
\frac{x^2+7x+24}{x^2(x-2)}>0
\] e poi procedi con lo studio dei segni di numeratore e denominatore.