mel__ ha scritto:Quindi mi rimane:
$ln|x|+1/x>=0$
Quella disequazione equivale a: \[
\begin{cases}
y_1 = \ln|x| \\
y_2 = -1/x \\
y_1 \ge y_2
\end{cases}
\] e dato che i grafici di tali funzioni sono immediati
1, si ha:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
da cui è facile dedurre che \(y_1 \ge y_2\) se \(x \le \alpha\) oppure se \(x>0\), con \(\alpha \in (-2,-1)\), ossia:
- \(f\) è crescente per \(x < \alpha\);
- \(f\) è stazionaria per \(x = \alpha\), punto di massimo locale;
- \(f\) è decrescente per \(\alpha < x < 0\);
- \(f\) è crescente per \(x > 0\).
Questo è ciò che si aspettano da te gli autori dell'esercizio, in quanto \(\alpha\) non è possibile calcolarla in forma chiusa facendo uso delle sole
funzioni elementari, bensì o ci si appella ad opportune
funzioni speciali o più comunemente ci si accontenta di una
approssimazione numerica (\(\alpha \approx -1.76322\)), che probabilmente non
vi hanno ancora insegnato a calcolare (ne abbiamo discusso
qui pochi giorni fa).
Se, per curiosità, volessi studiare anche il segno della derivata seconda arriveresti alla disequazione: \[
\ln|x| \ge \frac{1-2x}{x^2}
\] che si attacca nel modo appena illustrato, con l'aggravante che ora la funzione a membro destro non è immediata e quindi dovresti veramente farci uno studio di funzione nello studio di funzione. Per questo
gli autori dell'esercizio hanno esplicitamente scritto di non avventurarsi in tale studio, troppo lungo.