jhs ha scritto:Il risultato che riporta il libro è 468.2, in linea con quanto hai calcolato tu.
Ottimo! Assodato ciò, tornando all'equazione che avevi scritto in modo corretto sin dal principio: \[
\underbrace{S - \frac{KA(B-C)}{D^2(2-X)}\left[\left(1-\frac{3C}{A}X\right)^{1-\frac{2}{X}}-1\right]}_{f(X)} = 0
\] affinché abbia senso nel campo dei numeri reali dobbiamo imporre: \[
1 - \frac{3C}{A}X > 0
\] e tenendo conto che tutti i parametri sono positivi, tra cui \(X>0\), porta a scrivere: \[
0 < X < \frac{A}{3C} = 1.5269.
\] Pertanto, tenuto conto che:
- \(f\) è continua in \((0,1.5269)\);
- \(\begin{aligned}\lim_{X \to 0^+}\end{aligned} f(X) > 0\);
- \(\begin{aligned}\lim_{X \to 1.5269^-}\end{aligned} f(X) < 0\);
che \(f\) è monotona decrescente allora lo zero è unico e può essere approssimato con un metodo a piacere.
In particolare, dato che agli estremi \(f\) può essere valutata solo al limite, ci riduciamo all'intervallo: \[
[a,b] := [0.001, 1.526]
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
c := \frac{a+b}{2} = 0.764
\] e applicando il metodo più semplice in assoluto, ossia il metodo di bisezione, abbiamo:
- dato che \(f(a)f(c)<0\) allora \([a,b]=[0.001,0.764]\) e \(c = 0.3823\);
- dato che \(f(a)f(c)>0\) allora \([a,b]=[0.3823,0.764]\) e \(c = 0.5729\);
- dato che \(f(a)f(c)<0\) allora \([a,b]=[0.3823,0.5729]\) e \(c = 0.4776\);
- dato che \(f(a)f(c)>0\) allora \([a,b]=[0.4776,0.5729]\) e \(c = 0.5252\);
- dato che \(f(a)f(c)<0\) allora \([a,b]=[0.4776,0.5252]\) e \(c = 0.5014\);
- dato che \(f(a)f(c)<0\) allora \([a,b]=[0.4776,0.5014]\) e \(c = 0.4895\);
- dato che \(f(a)f(c)>0\) allora \([a,b]=[0.4895,0.5014]\) e \(c = 0.4954\);
pistacios ha scritto:Per curiosità, come posso capire quando in effetti non è esplicitabile in funzioni elementari?
Non conosco alcuna regola generale, tant'è che anche l'equazioncina che ho proposto come esempio ha soluzione reale esprimibile in forma chiusa, ma coinvolgendo la funzione W di Lambert non ne ho tenuto conto, non essendo nella cerchia delle cosiddette funzioni elementari a cui solitamente si fa riferimento.
In linea di principio, l'obiettivo è quello di ricondursi ad un sistema di equazioni polinomiali per le quali, perlomeno numericamente, risulta sempre possibile determinarne tutte le soluzioni in campo complesso; in caso contrario le cose si fanno mooolto più complicate e occorre capire di volta in volta come uscirne vivi.