@LucaSt: Dovresti almeno specificare che stai usando un corollario del teorema di Lagrange, che ha delle ipotesi opportune. Non sempre si può stabilire la derivabilità in un punto \(x_0\) calcolando \(f'\) per \(x \ne x_0\) e passando al limite per \(x \to x_0^+\) e \(x\to x_0^-\). Uno studente inesperto (specialmente in una sezione non universitaria) potrebbe convincersi erroneamente che quella tecnica sia valida sempre.
@mel__: Il metodo più generale è partire usando i teoremi di regolarità delle funzioni elementari: essi affermano che se siamo già a conoscenza della derivabilità di un numero finito di funzioni, possiamo dedurre la derivabilità di alcune operazioni tra di esse. Sappiamo che somma e prodotto di funzioni derivabili nelle parti interne dei loro domini sono derivabili nell'intersezione delle parti interne dei domini, quindi essendolo le costanti e le potenze in \(\mathbb{R}\) segue che \(3x^5-10x^3\) è derivabile in \(\mathbb{R}\). Composizione di funzioni derivabili è derivabile (sempre nelle opportune parti interne dell'insieme in cui ha senso fare la composizione), perciò, essendo il valore assoluto derivabile in \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), segue che \(f\) è derivabile almeno nei punti in cui l'argomento del modulo non si annulla; ossia, \(f\) è derivabile almeno in \(\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{10/3}, 0, \sqrt{10/3}\}\). Rimangono pertanto tre casi da studiare, per i quali applichiamo la definizione. Ossia, dobbiamo verificare se esistono finiti i limiti:
$$\lim_{h \to 0} \frac{f\left(-\sqrt{10/3}+h\right)-f\left(-\sqrt{10/3}\right)}{h}$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\sqrt{10/3}+h\right)-f\left(\sqrt{10/3}\right)}{h}$$
e, in caso affermativo, essi sono uguali rispettivamente a \(f'\left(-\sqrt{10/3}\right)\), \(f'(0)\) ed \(f'\left(\sqrt{10/3}\right)\). Questi sono limiti che dovresti saper calcolare. Chiaramente, se hai dei dubbi chiedi pure
.
Ultima nota: se invece sappiamo che una certa funzione non è derivabile, in generale non possiamo dedurre nulla sulle operazioni varie che si possono fare tra essa e altre funzioni. Ad esempio, sappiamo che \(|x|\) e \(x-|x|\) non sono derivabili in \(x=0\) ma la loro somma \(|x|+x-|x|=x\) è derivabile in \(x=0\). È per questo che, quando ho composto \(3x^5-10x^3\) con \(|x|\), ho detto "almeno".
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.