Proviamo.
Innanzitutto abbiamo varie informazioni a nostra disposizione che possiamo utilizzare per la dimostrazione.
1. $AB \cong CD$
2. $AC \cong BD$ da cui, poichè $M$ ed $N$ sono i punti medi dei rispettivi segimenti, abbiamo $AM \cong MB \cong CN \cong ND$
3. Essendo $P$ punto medio di $MN$ segue che $MP \cong PN$
Quello che ci chiede il problema è di dimostrare che $P$ è il punto medio del segmento $BC$ ovvero dobbiamo dimostrare che $CP \cong PB$.
Oserviamo che:
$PB \cong PN - BN$
Vediamo se, partendo da $CP$ riusciamo ad avere lo stesso valore di $PB$.
$CP \cong MP - MC$ Ma $MP \cong PN$ per ipotesi, per cui posso scrivere $CP \cong PN - MC$.
Ehi, ci siamo quasi.... se riuscissimo a dimostrare che $BN \cong MC$ avremo dimostrato la tesi iniziale.
A tal fine osserviamo che: $BN \cong BD - ND$
Vediamo se $MC$ può avere lo stesso valore.
$MC \cong AC - AM$ ma per ipotesi:
- $AC \cong DB$ e
- $AM \cong ND$
per cui possiamo scrivere $MC \cong DB - ND$ dimostrando così la congruenza tra i segmenti $BN$ e $MC$.
Con quete nuove informazioni posso riscrivere la seguente:
$CP \cong PN - MC \cong PN - BN \cong PB$.
Spero sia tutto corretto ed il ragionameno non troppo confusionario
Non tradire mai chi ti regala un sorriso perché magari ha la morte nel cuore ma ti dona lo stesso la vita.