Rotazione con centro qualsiasi

Quindi è il punto $O'=(a,b)$ che fai coincidere con l'origine (io pensavo fosse il contrario, cioè che facessi sovrapporre l'origine $O$ con $(a,b)$ e poi riportassi indietro $O$)

La tua scrivania sia il piano e due matite incollate perpendicolarmente ad una estremità sia il sistema di riferimento \(Oxy\) giacente in tale piano. Questo sistema di riferimento inizialmente lo fissi a piacere e a seconda di come lo fissi i punti della scrivania avranno determinate coordinate. In particolare, un punto a te caro lo evidenzi in rosso; siano \((a,b)\) le coordinate in tale sistema di riferimento che fino ad ora è fisso.

Quindi, trasli tale sistema di riferimento di vettore \((a,b)\), ossia il nuovo sistema di riferimento \(O'x'y'\) avrà gli assi con stessa direzione e stesso verso rispetto ai precedenti, ma l'origine \(O'\) sarà nel punto evidenziato in rosso che non avrà più coordinate \((a,b)\) bensì \((0,0)\). Questo porta a scrivere \(x'=x-a\) e \(y'=y-b\).

Ho sviluppato un esempio su un foglio e in effetti componendo le tue trasformazioni la cosa funziona: sono partito da un riferimento $Oxy$, ho preso un punto $(a,b)$, centro della mia rotazione e un punto $P$ del piano da far ruotare con rotazione di centro $(a,b)$. Però se $a$ e $b$ sono due numeri positivi, se faccio $\{(x'=x-a), (y'=y-b) :}$ io sto traslando tutti i punti del piano di $(-a,-b)$, non di $(a,b)$. Detto questo, con il ragionamento mi trovo: dopo aver traslato $P$ di $(-a,-b)$, lo faccio ruotare con un rotazione di centro $O'=(0,0)$, ottenendo $P''$, e infine traslo $P''$ di $(a,b)$, ottenendo $P'''$, che risulta ruotato di una rotazione con centro in $(a,b)$.

Quindi, trasli tale sistema di riferimento di vettore \((a,b)\),

Sì ma puoi anche ruotare la scrivania

Ad esempio, se traslo, $y=x^2$ di $(2,3)$, le equazioni sono $\{(x'=x+2), (y'=y+3) :}$ e non $\{(x'=x-2), (y'=y-3) :}$. Per questo ho fatto confusione.

Come suggerito da axpgn possiamo anche muovere la scrivania, in quel caso invece è richiesto di traslare la parabola di vettore \((2,3)\), che equivale a traslare \(Oxy\) di vettore \((-2,-3)\). Insomma, bisogna accordarsi.

Comunque credo di aver capito il tuo punto di vista: io quando traslo una curva penso sempre che gli assi cartesiani siano fissi, trasla solo la curva (nel caso di prima di $(2,3)$. Tu invece è come se facessi allontanare gli assi di $(-2,-3)$, e in effetti ottieni un risultato equivalente. Secondo me stiamo dicendo la stessa cosa ma probabilmente tu la dici in modo più corretto.

Però almeno sono d'accordo sul fatto che le equazioni di una rotazione di angolo $alpha$ e centro $(a,b)$ siano quelle; se poi quando devi traslare un punto di un vettore con componenti $(a,b)$ mi dici che fai traslare $Oxy$ di $(-a,-b)$, oppure che prendi $P(x,y)$ e fai $P'(x+a, y+b)$, penso siano modi equivalenti di vedere la cosa. Io trovo più intuitivo il secondo comunque.
Ti ringrazio per la pazienza e per la disponibilità!

Non c'è un modo giusto o sbagliato in assoluto, sono due facce della stessa medaglia. La cosa importante, come sempre, è quella di capire come venirne fuori, che in questo caso coincide con il disegnare su un foglio e vedere come mutano le coordinate. Poi, il tutto si aggiusta da solo. Inoltre, la cosa importante è imparare a comporre le varie trasformazioni elementari, dato che quelle bastano e avanzano per ottenere tutte le altre. Naturalmente, se per qualche motivo poi dovessi applicare la rotazione attorno ad un generico punto cento volte al giorno è chiaro che finirai per imparare a memoria le formulazioni risultanti. Buono studio, ciao.