Devo verificare che $f(x)=cosx+senx$ è positiva per $-pi/4<x<3/4pi$, applicando le formule parametriche, che sono le seguenti:
$sen(alpha)=(2t)/(1+t^2)$, $cos(alpha)=(1-t^2)/(1+t^2)$, $tan(alpha) = (2t)/(1-t^2)$ con $t= tan(alpha/2)$.
Ossero intanto che in quell'intervallo $alpha != pi$ e quindi posso applicare le formule parametriche:
$f(t) = (1-t^2)/(1+t^2) + (2t)/(1+t^2)$, con $t=tan(x/2)$.
Abbiamo che $-pi/4<x<3/4pi$ quindi $-pi/8<x/2<3/8pi$.
Riscrivo $f(t)$: $f(t)= (-t^2+2t+1)/(1+t^2)$. Ora, io porrei $f(t)=0$ per studiarmi $-t^2+2t+1$ (dopo aver moltiplicato ambo i membri per $(1+t^2)$; così facendo, troverei come zeri: $x_1=-sqrt(2)+1$ e $x_2=sqrt(2)+1$, e poiché la parabola ha concavità negativa si avrebbe che $f(t)$ è positiva per $-sqrt(2)+1<t<sqrt(2)+1$. Però come metodo non mi convince molto, perché $f(t)$ non è una parabola.
Consigli su come procedere?
Edit: in effetti $t^2+1$ è sempre positivo, quindi quella funzione può essere negativa solo quando il numeratore è negativo, ergo ha senso studiarsi il segno della parabola per dedurre il segno di quella funzione. Siccome come zeri della parabola trovo quelli di sopra e siccome ha concavità negativa, essa sarà positiva per $-sqrt(2)+1<tan(x/2)=t<sqrt(2)+1$, quindi in quell'intervallo la funzione di partenza è sicuramente positiva.
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HowardRoark il 18/01/2024, 00:00, modificato 1 volta in totale.