Punti di massimo e di minimo di una funzione trigonometrica

Devo determinare i punti di massimo e di minimo di $f(x)=2sen(x/2 +pi/6)-1$.

Ho ragionato così: i punti di massimo di $y'=2sen((x')/2)$ sono del tipo $pi + 4kpi$, cioè $P_1(pi,2), P_2(5pi, 2), ...$. I punti di minimo invece sono $x = 3pi + 4kpi$

Posso ottenere $f(x)$ da $y'$ applicando una traslazione $T: {(y'=y-1), (x'=x-pi/3) :}$, quindi i punti di massimo saranno del tipo $x_(max) = pi -pi/3 +4kpi => 2/3pi + 4kpi$, mentre quelli di minimo dovrebbero essere $x_(min)= 3pi - pi/3 +4kpi => 8/3pi +4kpi$.

Le soluzioni del libro sono: $x_(max)=2/3pi(6k+1)$, $x_(min) = 4/3pi(3k-1)$. $k$ è ovviamente intero.

Dove sto sbagliando?

Posto \(k \in \mathbb{Z}\), dato che: \[
\begin{aligned}
& \frac{2}{3}\pi(6h+1) = \frac{2}{3}\pi+4k\pi \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad h = k \\
\\
& \frac{4}{3}\pi(3h-1) = \frac{8}{3}\pi+4k\pi \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad h = k + 1 \\
\end{aligned}
\] allora anche \(h \in \mathbb{Z}\) e questo implica che le soluzioni sono equivalenti.

Avevo immaginato fossero equivalenti, il ragionamento era talmente lineare che non capivo dove avrei potuto sbagliare. Ti ringrazio per la conferma comunque.