Dubbio esercizio geometria

Buongiorno,

Ho un dubbio col seguente esercizio:

“Verifica che la parabola di equazione y=-x^2-4x non ha centro di simmetria”.

Ho disegnato la parabola e visto codominio, però non riesco a capire nè dimostrare perché non abbia centro di simmetria.

Ho provato a dimostrarlo applicando le classiche formule del centro di simmetria ipotizzando un centro generico C(xm,ym) e ho sostituito le formule nella parabola iniziale ma arrivo alla fine e mi blocco.

Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà

Se avesse un centro di simmetria, trasformando ogni suo punto:

$(x,y) rarr (barx,bary)$

$\{(barx=2x_c-x),(bary=2y_c-y):}$

$\{(x=2x_c-barx),(y=2y_c-bary):}$

si dovrebbe ottenere la stessa equazione nelle coordinate:

$(barx,bary)$

Ebbene, poichè:

$2y_c-bary=-(2x_c-barx)^2-4(2x_c-barx) rarr$

$rarr bary=barx^2-4(x_c+1)barx+4x_c^2+8x_c+2y_c$

basta e avanza osservare che si ottiene una parabola avente concavità opposta.

Ti ringrazio della risposta, ma perché avere la concavità opposta esclude la presenza del centro di simmetria? Ad esempio la parabola x^2-x+3 ha centro di simmetria in (0,4) e la simmetria ha concavità verso il basso.
Tra l’altro la simmetria centrale delle curve nel piano, non corrisponde proprio a una rotazione di 180 gradi rispetto al centro di simmetria? Mi viene in mente l’iperbole.

Forse mi sta sfuggendo qualcosa, scusami le domande banali forse

Ciao, le equazioni della simmetria centrale sono:

$S: {(x'=2a-x), (y'=2b-y) :}$, dove il centro di simmetria ha coordinate $C(a,b)$, $P(x,y)$ è il punto da trasformare e $P'(x',y')$ il trasformato.
Ricavo $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ ed $y'$ e sostituisco nella parabola:

$ {(x=2a-x'), (y=2b-y') :}$
L'equazione diventa:
$2b-y' = -(2a-x')^2 - 4(2a-x') => y'=x'^2-4x'(a+1)+4a^2+8a+2b=0$.

Quindi, applicando la simmetria di centro $C(a,b)$ ad un punto appartenente a $y=-x^2+4x$, questo viene trasformato in un punto $P'(x',y')$ appartenente a $y'=x'^2-4x'(a+1)+4a^2+8a+2b=0$. Poiché la prima e la seconda curva sono diverse per ogni possibile centro che puoi considerare, la parabola non ha centro di simmetria.
Ma è qualcosa che vale in generale: nessuna parabola ha centro di simmetria (ripeto: se lo avesse implicherebbe che, preso $P$ appartenente alla parabola, il trasformato $P'$ apparterrebbe ancora alla parabola), ma ha un asse di simmetria, che è la retta passante per il vertice perpendicolare alla direttrice.

Ultima modifica di HowardRoark il 14/01/2024, 14:51, modificato 3 volte in totale.

ma perché avere la concavità opposta esclude la presenza del centro di simmetria?

Non è la concavità ad escludere il centro di simmetria, è proprio la parabola che non ha centro di simmetria, perché se lo avesse, preso un punto $P$ appartenente alla parabola il trasformato $P'$ apparterrebbe ancora alla parabola, ma non esiste alcun centro che soddisfi quella proprietà. Prova a verificare che la parabola del tuo esempio ha un asse di simmetria pari a $x=-2$: ti accorgerai che sia $P$ appartenente alla parabola, sia il trasformato, continuano ad appartenere alla parabola.