Scomposizione polinomi di grado dispari

Perchè un polinomio di grado dispari deve contenere nella sua fattorizzazione almeno un fattore di primo grado?
Il libro dopo aver esposto il teorema degli zeri reali di un polinomio ( un polinomio di grado n, ha al massimo n soluzioni reali), manifesta come stabilito il punto della domanda di cui sopra e quindi dice che un polinomio di grado dispari ha sempre almeno una soluzione reale; non capisco sulla base di cosa si possa affermare che un polinomio di grado dispari si possa sempre scomporre in almeno un fattore di primo grado.

Ultima modifica di zaser123 il 10/01/2024, 14:31, modificato 1 volta in totale.

dice che un polinomio di grado dispari ha sempre almeno una soluzione reale; non capisco sulla base di cosa si possa affermare che un polinomio di grado dispari si possa sempre scomporre in almeno un fattore di primo grado.

Ti va bene che c'è almeno una soluzione reale?

Se $f(a)=0$ allora $f(x)=(x-a)*$ qualcosa.

Quindi immagino che NON ti vada bene che ci sia sempre almeno una soluzione reale.

Esatto,il libro giustifica che ci sia sempre una soluzione sulla base del fatto che sia sempre possibile trovare nella scomposizione di un polinomio di grado dispari un fattore di primo grado. Quindi non mi va bene neanche che ogni polinomio di grado dispari abbia almeno una soluzione reale.

Hai mai notato cosa succede ad un polinomio di grado dispari quando va all'infinito (positivo e negativo)?

Incrocia l'asse delle ascisse e quindi posso giustificare la fattorizzazione (e il fatto che ci sia almeno una soluzione reale) sulla base del teorema del resto?

Perché incrocia sempre l'asse delle ascisse?
Cosa implica che incrocia sempre l'asse delle ascisse?
Cosa c'entra il teorema del resto (non mi è chiaro cosa intendi dire)?

Perchè un polinomio di grado dispari deve contenere nella sua fattorizzazione almeno un fattore di primo grado?

Se supponi che un polinomio $P(x)$ di grado dispari abbia sempre almeno uno zero, ad esempio $a$, allora $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$, e quindi puoi fattorizzarlo con una normale divisione tra polinomi o con la regola di Ruffini.

Se $a$ è uno zero, allora $P(a)=0=R$. Allora, $P(x)= Q(x)*(x-a)$. Come vedi, la fattorizzazione contiene un fattore di primo grado, come volevi dimostrare.
Se poi mi chiedi perché, di preciso, un polinomio di grado dispari abbia almeno uno zero non te lo so spiegare, ma se lo "congetturi" dimostrare la tua proposizione diventa semplice.

Basandomi sul grafico di una equazione lineare (non ho ancora incontrato altri grafici di polinomi di grado dispari), ho notato che interseca sempre l'asse delle ascisse e ho pensato che volessi suggerirmi che tutte le equazioni polinomiali di grado dispari hanno un comportamento analogo. Se tutte intersecano asse delle ascisse , vi è sempre uno zero del polinomio coincidente con il punto di intersezione. Quindi se $ P(INTERS.)=0 $ , posso fattorizzare secondo il corollario del teorema del resto $ P(x)=Q(x)*(x-INTERS.) $ . Quindi ho sempre nella fattorizzazione di un polinomio di grado dispari, un fattore di primo grado.

Basandomi sul grafico di una equazione lineare (non ho ancora incontrato altri grafici di polinomi di grado dispari), ho notato che interseca sempre l'asse delle ascisse e ho pensato che volessi suggerirmi che tutte le equazioni polinomiali di grado dispari hanno un comportamento analogo.

Esatto, precisamente notando che i limiti per \(x \to -\infty\) e \(x \to +\infty\) sono entrambi infiniti e con segno discorde. Pertanto, essendo una funzione continua, il grafico dovrà intersecare l'asse x almeno una volta.

Naturalmente qui è cruciale la continuità delle funzioni polinomiali, altrimenti potrei fare "un saltino" per oltrepassare l'asse x senza intersecarlo, ma non è questo il caso. Inoltre, è tacitamente assunto che i coefficienti di questi polinomi siano tutti reali, altrimenti potremmo benissimo non avere soluzioni reali.

Ok, grazie mille.