Dimostrazione sulle circonferenze

Devo dimostrare che i centri delle varie circonferenze ottenibili considerando il fascio $x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2 + a'x+b'y+c')=0$ giacciono tutti su una stessa retta e che l'asse radicale è perpendicolare a tale retta.
Io ho proceduto così, ma non sono troppo convinto riguardo la prima parte della dimostrazione (che i centri delle circonferenze di un fascio sono allineati).

Riscrivo l'equazione di un fascio così: $x^2+y^2+(a+ka')/(k+1)x + (b+kb')/(k+1)y+(c+kc')/(k+1)=0$.
Le coordinate del centro di una generica circonferenza individuata dal fascio sono $C(-(a+ka')/(2(k+1)); - (b+kb')/(2(k+1)))$.
Da qui posso subito dedurre che tutti questi centri siano allineati? Perché io ho considerato un esempio numerico, ponendo prima $k=1$, poi $k=2$, avendo quindi le seguenti coordinate del centro: $C_1(-(a+a')/4; -(b+b')/4), C_2 (-(a+2a')/6; -(b+2b')/6)$, poi ho considerato la retta che passa per tali centri e dopo estenuanti calcoli sono arrivato alla seguente:
$y= (b-b')/(a-a')x + (a'b-ab')/(2(a-a'))$.
Da qui poi far vedere che l'asse radicale è perpendicolare a questa retta è una sciocchezza; tuttavia, le cose che mi lasciano perplesso di questa dimostrazione sono 2:

1) Io ho considerato solo due centri, ho trovato l'equazione della retta passante per essi e ho mostrato che è perpendicolare all'asse radicale, ma dovrei dimostrare che vale per ogni centro che posso considerare del fascio.

2) Qualcosa mi dice che avrei potuto rendermene conto subito dopo aver determinato le coordinate del centro del fascio, però non sono sicuro né che sia vero né come avrei potuto capirlo senza fare esempi.

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Le coordinate del centro di una generica circonferenza individuata dal fascio sono $C(-(a+ka')/(2(k+1)); - (b+kb')/(2(k+1)))$.
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Potresti sfruttare il fatto che se la distanza di un punto da una retta è zero il punto si trova sulla retta?

Comunque, se le circonferenze sono secanti posso fare anche una dimostrazione non algebrica, molto più semplice: in questo caso tutte le circonferenze del fascio hanno due punti $A$ e $B$ in comune. Considero l'asse di $AB$. Il centro della circonferenza appartiene all'asse di questo segmento, luogo dei punti equidistanti dagli estremi. La retta radicale è per definizione quella passante per $AB$ e quindi ho dimostrato sia che il centro deve appartenere all'asse (quindi tutti i centri sono allineati), sia che la retta che congiunge i centri è perpendicolare ad $AB$.

Ultima modifica di HowardRoark il 07/01/2024, 22:15, modificato 2 volte in totale.

Potresti sfruttare il fatto che se la distanza di un punto da una retta è zero il punto si trova sulla retta?

Comunque dovrei ricavarmi l'equazione di una retta passante per due punti, però sì è sicuramente un metodo per dimostrare che i centri sono tutti allineati. Magari anziché considerare $k=1$ e $k=2$ potrei impostare $k=k_1$ e $k=k_2$ per non perdere la generalità della dimostrazione.

Forse la dimostrazione è facile anche se le circonferenze sono tangenti in un punto $A$. L'asse radicale è quello tangente in $A$ alla circonferenza, quindi è già determinato. Il raggio di una circonferenza è perpendicolare alla tangente, quindi ho dimostrato la perpendicolarità. Ora devo dimostrare che tutti questi centri sono allineati.
Siccome so che tutte queste circonferenze passano per $A$, la retta che congiunge i centri di queste circonferenze ad $A$ deve essere perpendicolare a quella passante per $A$ e tangente alla circonferenza, perché per ipotesi l'asse radicale è tangente. La retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data è unica, quindi tutti i centri sono allineati.
Ora resta solo il caso delle circonferenze né secanti né tangenti (e neanche concentriche ovviamente).