Devo scrivere l'equazione di un fascio di parabole passante per $A(1;3)$ e $B(2;0)$, dove le curve generatrici sono una parabola e una retta.
Per trovare l'equazione di una generica parabola passante per $A$ e $B$, posso imporre il passaggio in un punto a caso, ad esempio $C(0;4)$:
$\{(c=4), (3=a+b+4), (0=4a+2b+4):} => y=-x^2+4$.
L'equazione della retta passante per $A$ e per $B$ è $y=-3x+6$.
Quindi l'equazione del fascio risulta essere $y+x^2-4+k(y+3x-6)=0$.
Se però avessi imposto che la parabola passasse per $C'(0;3)$, avrei avuto:
$\{(c=3), (a+b=0), (-2b=-3):} => y= -3/2x^2+3/2x+3$.
Quindi, l'equazione del fascio sarebbe stata:
$y+3/2x^2-3/2x-3+k(y+3x-6)=0$.
Per definizione, le equazioni dei due fasci devono essere equivalenti, anche se apparentemente sembrano diverse. Come posso dimostrare ciò (l'equivalenza fra le equazioni dei due fasci)?