Fascio di parabole

Devo scrivere l'equazione di un fascio di parabole passante per $A(1;3)$ e $B(2;0)$, dove le curve generatrici sono una parabola e una retta.

Per trovare l'equazione di una generica parabola passante per $A$ e $B$, posso imporre il passaggio in un punto a caso, ad esempio $C(0;4)$:

$\{(c=4), (3=a+b+4), (0=4a+2b+4):} => y=-x^2+4$.

L'equazione della retta passante per $A$ e per $B$ è $y=-3x+6$.
Quindi l'equazione del fascio risulta essere $y+x^2-4+k(y+3x-6)=0$.

Se però avessi imposto che la parabola passasse per $C'(0;3)$, avrei avuto:

$\{(c=3), (a+b=0), (-2b=-3):} => y= -3/2x^2+3/2x+3$.

Quindi, l'equazione del fascio sarebbe stata:
$y+3/2x^2-3/2x-3+k(y+3x-6)=0$.
Per definizione, le equazioni dei due fasci devono essere equivalenti, anche se apparentemente sembrano diverse. Come posso dimostrare ciò (l'equivalenza fra le equazioni dei due fasci)?

Io l'equazione del fascio me la trovo come: $y = -3x + 6 +k(x^2-3x+2)$ se non ho sbagliato i calcoli.

Io l'equazione del fascio me la trovo come: $y = -3x + 6 +k(x^2-3x+2)$ se non ho sbagliato i calcoli.

I tuoi calcoli sono giusti, semplicemente hai considerato un punto $C''$ tale che la parabola che trovi ha concavità positiva (ad esempio ponendo il passaggio per $C''(5;3)$). Quello che volevo sapere, però, era se fosse possibile dimostrare che tutte le equazioni dei fasci che si possono trovare, al variare del terzo punto che individua univocamente una parabola (per $C(0;4), C'(0,3), C''(5,3)$ e così via), sono equivalenti.

Scrivendo le due equazioni nel modo sottostante:

$(s+1)y+x^2+3sx-6s-4=0$

$(t+1)y+3/2x^2+(3t-3/2)x-6t-3=0$

devi dimostrare che, per ogni valore di s sostituito nel primo fascio, esiste un solo valore di t che sostituito nel secondo fascio rende la stessa parabola:

$\{(s+1=\alpha(t+1)),(1=\alpha3/2),(3s=\alpha(3t-3/2)),(-6s-4=\alpha(-6t-3)):} rarr s=2/3t-1/3$

Scrivendo le due equazioni nel modo sottostante:

$(s+1)y+x^2+3sx-6s-4=0$

$(t+1)y+3/2x^2+(3t-3/2)x-6t-3=0$

devi dimostrare che, per ogni valore di s sostituito nel primo fascio, esiste un solo valore di t che sostituito nel secondo fascio rende la stessa parabola:

$\{(s+1=\alpha(t+1)),(1=\alpha3/2),(3s=\alpha(3t-3/2)),(-6s-4=\alpha(-6t-3)):} rarr s=2/3t-1/3$

Chiarissimo, grazie mille!

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