Problema parabola seconda superiore

Buona domenica a tutti!
Domani ho la verifica di matematica e sto svolgendo gli esercizi consigliati dalla prof per prepararmi. Fra questi, alcuni non riesco proprio a completarli, quindi ho pensato di chiedervi aiuto. Ecco a voi uno di essi:

Scrivi l’equazione della parabola avente vertice in V (2, 4), passante per l’origine O del sistema di riferimento.
a. Determina il punto A (diverso da O) in cui la parabola incontra la bisettrice del primo e del terzo quadrante. (Risolto, parabola: $y=-x^2+4x$ , $A (3,3)$ )
b. Determina l’equazione della retta t, tangente alla parabola e parallela alla bisettrice del primo e del
terzo quadrante. (Risolto, $y=x+9/4$ )
c. Considera sull’arco OA un punto P e indica con H e K rispettivamente le proiezioni di P sull’asse x e sulla retta t. Determina le coordinate del punto P per cui e` minima la somma $PH+4PK√2$ .

I risultati dei punti a e b sono esatti (li ho confrontati con quelli del libro), mentre quello del punto c dovrebbe essere $P (4/3, 32/9)$ . Ho fatto vari e vani tentativi, spero che nonostante sia domenica qualcuno abbia voglia di aiutarmi.
Grazie mille in anticipo.

Eccoti un aiuto

$P(x,y)$ con $0<=x<=3$ e $y>=0$

$PH=|y|$ e $PK=(|4x-4y+9|)/(4sqrt2)$

$y=-x^2+4x$

Sostituendo nella relazione data, ed osservando che l'espressione in valore assoluto è sempre positiva, arrivi a:

$f(x)=3x^2-8x+9$

che l'equazione di un parabola il cui punto di minimo è il vertice di ascissa $4/3$.

Poichè il punto P è sulla parabola, quindi di coordinate $(x,-x^2+4x)$ basta sostituire.

Scusami igiul, io sono imbranatissima, potresti per favore spiegarmi passaggio per passaggio? Ho provato a sostituire nella relazione ma mi viene diverso...

Iniziamo da qui:

$y=-x^2+4x$ ricorda che P appartiene alla parabola

$|4x-4y+9|=|4x-4(-x^2+4x)+9|=|4x+4x^2-16x+9|=|4x^2-12x+9|=|(2x-3)^2|=(2x-3)^2$

$|y|=y$ perchè $y>=0$

allora:

$PH+4PKsqrt2=y+4*(2x-3)^2/sqrt2*sqrt2=y+(2x-3)^2=-x^2+4x+(4x^2-12x+9)=3x^2-8x+9$

Poni $PH+4PKsqrt2=f(x)$

ed hai la funzione che ti ho scritto prima.
Spero che ora sia chiaro.
Un saluto

Buongiorno,
avrei bisogno di sapere questa informazione: qual è il titolo del libro da cui è stato tratto il problema della parola in questione?
Grazie mille per il vostro aiuto

Scusate, il problema della *parabola, e non "parola", ho digitato male...

Buongiorno,
Scrivo una domanda al signor/a Igiul. Magari sbaglio io, ma non ha dimenticato di moltiplicare un 4 nella somma tra PH e PK?
Buona giornata.

@Leo07: Ciao, benvenut* sul forum. Stai rispondendo a un post di $8$ anni fa: l'utente igiul non si connette da quasi un anno, che non è un tempo eccessivamente lungo (potrebbe rispondere). In generale, sappi che è meglio non riesumare post così vecchi: conviene aprirne altri e, al più, linkare in quelli nuovi un riferimento al post specifico su cui si ha dubbi. Grazie, e buona permanenza!

Buonasera,
Capisco e la ringrazio.