Trigonometria: dominio, codominio in disequazione

[minomic]

Scusa minomic non ho capito come da $sinx - 2 > 0$ sei arrivato a quella disequazione.

Veramente io dicevo $\sinx - 2 < 0$
Comunque tu hai una frazione formata da tre fattori e vuoi che sia maggiore di zero. Se uno di questi fattori è negativo allora il prodotto degli altri due deve essere negativo perchè "meno per meno fa più".

[Mr.Mazzarr]

Ehm, non capisco però da dove esce 'sto $sinx - 2 < 0$

Il numeratore è $sin(sinx - 2) >= 0$, il denominatore è $1 - sinx > 0$.
Per il calcolo del numeratore non devo fare la regola dei segni tra $sin >= 0$ e $sinx >= 2$ ?

[minomic]

Ehm, non capisco però da dove esce 'sto $sinx - 2 < 0$

Il numeratore è $sin(sinx - 2) >= 0$, il denominatore è $1 - sinx > 0$.
Per il calcolo del numeratore non devo fare la regola dei segni tra $sin >= 0$ e $sinx >= 2$ ?

Per abbreviare i calcoli (e non rischiare di commettere errori in seguito) ho semplicemente notato che di questi tre fattori ce n'è uno del quale conosciamo già il segno, visto che $\sin x - 2$ è negativo $\forall x$. Infatti il seno va da $-1$ a $1$ e quindi se gli sottrai $2$ hai sempre un numero negativo.

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco. E' la stessa cosa di scrivere:

$sinx - 2 > 0 ->$ mai verificato

Perché non mi trovo poi.

[minomic]

Ah ecco. E' la stessa cosa di scrivere:

$sinx - 2 > 0 ->$ mai verificato

Sì esatto è la stessa cosa. Quindi se quel fattore è negativo e vogliamo che la frazione nel suo complesso sia positiva dovremo avere il prodotto degli altri fattori negativo, in modo che "meno per meno faccia più".
Inoltre, dato che in tutti i fattori compare $\sin x$, ho risolto la disequazione rispetto a questo e sono passato agli angoli solo in fondo. Non avrei potuto farlo se le funzioni goniometriche fossero state più di una, come ad esempio un seno e un coseno, ma in questo caso risulta molto più comodo.

[Mr.Mazzarr]

Ah ecco, tutto chiaro.

Nello svolgimento di una regola dei segni mi sono ritrovato di fronte a $cosx > sqrt(2)$.
Per trovare l'arco che rispetti tale disequazione, devo andare a trovare il valore di quel $sqrt(2)$ in radianti?

[minomic]

Nello svolgimento di una regola dei segni mi sono ritrovato di fronte a $cosx > sqrt(2)$.
Per trovare l'arco che rispetti tale disequazione, devo andare a trovare il valore di quel $sqrt(2)$ in radianti?

Per risolverla devi immaginare la retta verticale $x=\sqrt{2}$ e prendere la parte della circonferenza goniometrica che sta "alla destra" di questa retta. Ti accorgi però subito che $\sqrt{2} > 1$ quindi non esiste alcun angolo tale che il suo coseno sia maggiore di $\sqrt{2}$. In conclusione quella disequazione è impossibile.

Comunque mi sembra che tu faccia un po' di confusione con questi radianti. Se scrivi $$\cos \alpha = k$$ $\alpha$ è in radianti mentre $k$ è un numero puro.

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, riuppo un secondo questo topic per chiedervi: c'era su questo forum un immagine della sovrapposizione dei grafici di seno e coseno, utile per il calcolo di disequazioni come $senx > cosx$ o viceversa. Potreste darmi questa immagine?

Grazie!

[minomic]

Ciao, puoi creare questa ed altre immagini con uno di quei software per tracciare i grafici. Comunque ecco qui

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[Zero87]

Mi intrometto un po' a cavolo a dire il vero, però preferisco - se possibile - il metodo analitico (stavo per scrivere "rimaneggiativo", che rende meglio l'idea).

$sin(x)>cos(x)$

raccogliendo il coseno al primo membro
$cos(x)\frac{sin(x)}{cos(x)}>cos(x)$

porto il coseno solo soletto di là e lo metto a fattor comune
$cos(x)(\frac{sin(x)}{cos(x)}-1)>0$

da cui
$cos(x)(tan(x)-1)>0$

che si può studiare con uno studio del segno vecchio stile senza troppi inconvenienti.

Attenzione
"Raccolgo il coseno", non "divido entrambi i membri per il coseno" perché il segno del coseno varia e voglio evitare cose come "cambio di verso della disequazione".

Attenzione (e 2)
La disequazione iniziale è definita per ogni $x$ reale, mentre quella che ottengo, a causa della tangente, non lo è per $\pi/2+k\pi$. Quindi l'unico vero inconveniente che ho è quello di vedere a parte il caso $\pi/2+k\pi$ all'inizio per poi aggiungerlo alla soluzione finale.