Discussioni su argomenti di matematica di scuola secondaria di secondo grado
25/01/2013, 15:09
Argomento trattato con un altro utente in un altro topic, ho pensato di aprirne uno singolare utile non solo a me.
Il topic è incentrato sulle funzioni trigonometrico, sul loro dominio e codominio e quindi come '' giostrarsi '' in casi di disequazione e campi d'esistenza.
Partiamo col scrivere le funzioni trigonometri con rispettivo dominio e codominio:
$y=sin x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=cos x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=tan x$: $R-{pi/2 + kpi} rarr R$
$y=arcsin x$: $[-1, 1] rarr [-pi/2, pi/2]$
$y=arccos x$: $[-1, 1] rarr [0, pi]$
$y=arctan x$: $(-oo, +oo) rarr (-pi/2, pi/2)$
Ora. Una omand:
- Come si osservano le funzioni trigonometriche in un caso di disequazione? Prendiamo, ad esempio, il campo d'esistenza di:
$log(arcsin(x+1))$
Essendo argomento del logaritmo, bisogna porre $arcsin(x+1) > 0$. Ed essendo argomento dell'arcoseno, bisogna porre $-1 < x < 1$. Sul secondo è molto semplice lavorare, ma sul primo che discorso devo fare?
25/01/2013, 15:17
Prendiamo $log[arcsin(x+1)]$. Devono valere ${(-1 <= x+1 <= 1), (arcsin(x+1) > 0):}$ (avevi dimenticato il $+1$).
Concentriamoci sulla seconda: l'arcoseno di $x+1$ è definito come quell'angolo (tra $-pi/2$ e $pi/2$) che ha come seno $x+1$. Chiedersi quando l'arcoseno è positivo significa quindi chiedersi quando questo angolo è positivo, ovvero compreso tra $0$ e $pi/2$. Questo significa che il suo seno sarà compreso tra $0$ e $1$, ma il suo seno, per la definizione che abbiamo appena dato, è proprio $x+1$ quindi il sistema diventa ${(-1 <= x+1 <= 1), (0 < x+1 <= 1):}$.
25/01/2013, 15:18
Sul secondo non bisogna porre $-1<=x+1<=1$?
Per quanto riguarda il primo invece credo sia sufficiente porre $0<x+1<=1$. No?
25/01/2013, 15:22
minomic ha scritto:Prendiamo $log[arcsin(x+1)]$. Devono valere ${(-1 <= x+1 <= 1), (arcsin(x+1) > 0):}$ (avevi dimenticato il $+1$).
Concentriamoci sulla seconda: l'arcoseno di $x+1$ è definito come quell'angolo (tra $-pi/2$ e $pi/2$) che ha come seno $x+1$. Chiedersi quando l'arcoseno è positivo significa quindi chiedersi quando questo angolo è positivo, ovvero compreso tra $0$ e $pi/2$. Questo significa che il suo seno sarà compreso tra $0$ e $1$, ma il suo seno, per la definizione che abbiamo appena dato, è proprio $x+1$ quindi il sistema diventa ${(-1 <= x+1 <= 1), (0 < x+1 <= 1):}$.
L'arcoseno esiste tra $-1$ e $1$ e il suo codominio è $]-pi/2, pi/2[$. Così, possiamo dire che quando lavoro sull'argomento tengo conto del Dominio e quando lavoro su tutta la funzione tengo conto del Codominio?
25/01/2013, 15:24
Mr.Mazzarr ha scritto:possiamo dire che quando lavoro sull'argomento tengo conto del Dominio e quando lavoro su tutta la funzione tengo conto del Codominio?
Direi di sì.
25/01/2013, 15:39
Molto bene
Una disequazione del tipo:
$arcsen(x+1) > 2$
Come si risolve?
25/01/2013, 15:42
Non ha soluzioni, avendo detto che l'arcoseno ha codominio $[−π/2,π/2]$ non potrà mai essere $>2$.
25/01/2013, 15:45
Esatto burm87.
Faccio un esempio risolvibile: $arcsin(x+1) > 1$.
Quel $1$ rappresenta un angolo in radianti, e tra $-pi/2$ e $pi/2$ il seno è crescente, quindi $x+1 > sin 1 rArr x > sin 1 - 1$.
25/01/2013, 18:19
Mmm capito.
Ho incontrato una situazione un po' particolare..
$cos^2x > 1/2$
$cosx < -(sqrt(2))/2 uu cosx > (sqrt(2))/2$
Ora, ho analizzato singolarmente le disequazioni...
1. $cosx > -(sqrt(2))/2$
Dato che si lavora sugli archi per il passaggio a radianti, ho considerato quell'arco in cui il valore del coseno è inferiore a $-(sqrt(2))/2$. Ovvero l'arco che va da $3/4 pi$ a $5/4 pi$. Ed ho quindi scritto:
$3/4 pi + 2kpi < x < 5/4 pi + 2kpi$
2. $cosx < (sqrt(2))/2$
Anche qui ho fatto il discorso precedente, ho considerato l'arco del coseno nei punti inferiori a quel valore. Ovvero l'arco che va da $pi/4$ a $-pi/4$. Quindi ho scritto:
$1/4 pi + 2kpi < x < -1/4 pi + 2kpi$
Volevo sapere: E' esatto?
25/01/2013, 19:02
L'idea è giusta anche se poi hai fatto confusione tra maggiore e minore:
1. $cos x < -sqrt2/2 rArr 3/4 pi + 2k pi < x < 5/4 pi + 2k pi$
2. $cos x > sqrt2/2 rArr -pi/4 + 2k pi < x < pi/4 + 2k pi$
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