Trigonometria: dominio, codominio in disequazione

[Mr.Mazzarr]

Argomento trattato con un altro utente in un altro topic, ho pensato di aprirne uno singolare utile non solo a me.
Il topic è incentrato sulle funzioni trigonometrico, sul loro dominio e codominio e quindi come '' giostrarsi '' in casi di disequazione e campi d'esistenza.

Partiamo col scrivere le funzioni trigonometri con rispettivo dominio e codominio:

$y=sin x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=cos x$: $R rarr [-1, 1]$
$y=tan x$: $R-{pi/2 + kpi} rarr R$

$y=arcsin x$: $[-1, 1] rarr [-pi/2, pi/2]$
$y=arccos x$: $[-1, 1] rarr [0, pi]$
$y=arctan x$: $(-oo, +oo) rarr (-pi/2, pi/2)$

Ora. Una omand:

- Come si osservano le funzioni trigonometriche in un caso di disequazione? Prendiamo, ad esempio, il campo d'esistenza di:

$log(arcsin(x+1))$

Essendo argomento del logaritmo, bisogna porre $arcsin(x+1) > 0$. Ed essendo argomento dell'arcoseno, bisogna porre $-1 < x < 1$. Sul secondo è molto semplice lavorare, ma sul primo che discorso devo fare?

[minomic]

Prendiamo $log[arcsin(x+1)]$. Devono valere ${(-1 <= x+1 <= 1), (arcsin(x+1) > 0):}$ (avevi dimenticato il $+1$).
Concentriamoci sulla seconda: l'arcoseno di $x+1$ è definito come quell'angolo (tra $-pi/2$ e $pi/2$) che ha come seno $x+1$. Chiedersi quando l'arcoseno è positivo significa quindi chiedersi quando questo angolo è positivo, ovvero compreso tra $0$ e $pi/2$. Questo significa che il suo seno sarà compreso tra $0$ e $1$, ma il suo seno, per la definizione che abbiamo appena dato, è proprio $x+1$ quindi il sistema diventa ${(-1 <= x+1 <= 1), (0 < x+1 <= 1):}$.

[burm87]

Sul secondo non bisogna porre $-1<=x+1<=1$?

Per quanto riguarda il primo invece credo sia sufficiente porre $0<x+1<=1$. No?

[Mr.Mazzarr]

Prendiamo $log[arcsin(x+1)]$. Devono valere ${(-1 <= x+1 <= 1), (arcsin(x+1) > 0):}$ (avevi dimenticato il $+1$).
Concentriamoci sulla seconda: l'arcoseno di $x+1$ è definito come quell'angolo (tra $-pi/2$ e $pi/2$) che ha come seno $x+1$. Chiedersi quando l'arcoseno è positivo significa quindi chiedersi quando questo angolo è positivo, ovvero compreso tra $0$ e $pi/2$. Questo significa che il suo seno sarà compreso tra $0$ e $1$, ma il suo seno, per la definizione che abbiamo appena dato, è proprio $x+1$ quindi il sistema diventa ${(-1 <= x+1 <= 1), (0 < x+1 <= 1):}$.

L'arcoseno esiste tra $-1$ e $1$ e il suo codominio è $]-pi/2, pi/2[$. Così, possiamo dire che quando lavoro sull'argomento tengo conto del Dominio e quando lavoro su tutta la funzione tengo conto del Codominio?

[minomic]

possiamo dire che quando lavoro sull'argomento tengo conto del Dominio e quando lavoro su tutta la funzione tengo conto del Codominio?

Direi di sì.

[Mr.Mazzarr]

Molto bene

Una disequazione del tipo:

$arcsen(x+1) > 2$

Come si risolve?

[burm87]

Non ha soluzioni, avendo detto che l'arcoseno ha codominio $[−π/2,π/2]$ non potrà mai essere $>2$.

[minomic]

Esatto burm87.
Faccio un esempio risolvibile: $arcsin(x+1) > 1$.
Quel $1$ rappresenta un angolo in radianti, e tra $-pi/2$ e $pi/2$ il seno è crescente, quindi $x+1 > sin 1 rArr x > sin 1 - 1$.

[Mr.Mazzarr]

Mmm capito.

Ho incontrato una situazione un po' particolare..

$cos^2x > 1/2$

$cosx < -(sqrt(2))/2 uu cosx > (sqrt(2))/2$

Ora, ho analizzato singolarmente le disequazioni...

1. $cosx > -(sqrt(2))/2$

Dato che si lavora sugli archi per il passaggio a radianti, ho considerato quell'arco in cui il valore del coseno è inferiore a $-(sqrt(2))/2$. Ovvero l'arco che va da $3/4 pi$ a $5/4 pi$. Ed ho quindi scritto:

$3/4 pi + 2kpi < x < 5/4 pi + 2kpi$

2. $cosx < (sqrt(2))/2$

Anche qui ho fatto il discorso precedente, ho considerato l'arco del coseno nei punti inferiori a quel valore. Ovvero l'arco che va da $pi/4$ a $-pi/4$. Quindi ho scritto:

$1/4 pi + 2kpi < x < -1/4 pi + 2kpi$


Volevo sapere: E' esatto?

[minomic]

L'idea è giusta anche se poi hai fatto confusione tra maggiore e minore:
1. $cos x < -sqrt2/2 rArr 3/4 pi + 2k pi < x < 5/4 pi + 2k pi$
2. $cos x > sqrt2/2 rArr -pi/4 + 2k pi < x < pi/4 + 2k pi$