Analisi grafico di funzione

Buongiorno ragazzi,

Sto risolvendo i miei primi esercizi in cui bisogna trarre delle informazioni dal grafico di una funzione. Volevo capire se i ragionamenti che faccio sono corretti.

Innanzitutto, questa è la funzione che mi viene proposta:



a. Indicare punti di massimo, minimo (relativo o assoluto?), flesso

La funzione presenta:

- \(\displaystyle x=-2 \) punto di minimo relativo, con coordinate complete \(\displaystyle (-2; -1) \)
- \(\displaystyle x=1 \) punto di massimo relativo, con coordinate complete \(\displaystyle (1; 2) \)
- \(\displaystyle x=2 \) punto di flesso a tangente orizzontale (discendente), con coordinate complete \(\displaystyle (2; 1) \)

b. Segno della derivata prima (+ Crescenza/decrescenza)

- \(\displaystyle f'(x)>0 \) per \(\displaystyle -2<x<0 \) e \(\displaystyle 0<x<1 \), quindi negli intervalli \(\displaystyle (-2,0) \) e \(\displaystyle (0,1) \) è crescente
- \(\displaystyle f'(x)<0 \) per \(\displaystyle x<-2 \) e \(\displaystyle x>1 \), quindi negli intervalli \(\displaystyle (-\infty,-2) \) e \(\displaystyle (1,+\infty) \) è decrescente
- \(\displaystyle f'(x)=0 \) per \(\displaystyle x=-2 \) e \(\displaystyle x=1 \) e \(\displaystyle x=2 \)

c. Segno della derivata seconda (+ Convessità/concavità)

- \(\displaystyle f''(x)>0 \) per \(\displaystyle x<0 \) e \(\displaystyle x>2 \), quindi negli intervalli \(\displaystyle (-\infty,0) \) e \(\displaystyle (2,+\infty) \) è convessa
- \(\displaystyle f''(x)<0 \) per \(\displaystyle 0<x<2 \), quindi nell'intervallo \(\displaystyle (0,2) \) è concava

Grazie mille a chi mi dedica un pò di tempo

Se è uno dei tuoi primi esercizi su questi argomenti hai fatto un buon lavoro. D'altro canto, ti faccio notare che prima scrivi che per \(x>1\) si ha \(f'(x)<0\) e dopo scrivi che per \(x=2\) si ha \(f'(x)=0\). Questa è una evidente contraddizione, sapresti correggere autonomamente? Il resto a me pare scritto correttamente.

... punto di flesso a tangente orizzontale (discendente) ...

Ascendente, non discendente. Il fatto che la funzione sia decrescente non ha alcuna rilevanza. Piuttosto, rileva il fatto che la funzione passi dall'essere sotto la retta tangente all'essere sopra la retta tangente.

Grazie mille, ragazzi

Per sella, la modifica da fare è: \(\displaystyle 1<x<2 \) e \(\displaystyle x>2 \)

Per Noodles, ok. Avevo notato che la funzione decresce prima di 2 e decresce dopo 2, pertanto avevo attribuito flesso discendente

Grazie mille.

Prego.

la modifica da fare è: \(\displaystyle 1<x<2\) e \(\displaystyle x>2\)

No, l'errore che hai commesso è scrivere \(f'(2)=0\), ossia assumere che in \((2,1)\) la retta tangente al grafico di \(f\) sia orizzontale. Invece, dovrebbe essere evidente che in tale punto la retta tangente sia obliqua, ossia \(f'(2)\ne 0\); in particolare, si ha \(f'(2)<0\). D'altro canto, essendo \((2,1)\) un punto di flesso, si ha \(f''(2)=0\).

Grazie mille.

Prego.

la modifica da fare è: \(\displaystyle 1<x<2\) e \(\displaystyle x>2\)

No, l'errore che hai commesso è scrivere \(f'(2)=0\), ossia assumere che in \((2,1)\) la retta tangente al grafico di \(f\) sia orizzontale. Invece, dovrebbe essere evidente che in tale punto la retta tangente sia obliqua, ossia \(f'(2)\ne 0\); in particolare, si ha \(f'(2)<0\). D'altro canto, essendo \((2,1)\) un punto di flesso, si ha \(f''(2)=0\).

Ok, quindi lascio tutto uguale ed aggiungo una riga:

- \(\displaystyle f''(x)=0 \) per \(\displaystyle x=2 \)

Oppure devo evidenziare l'interruzione dovuta al flesso da qualche parte? Intendo inserire una scrittura tipo: \(\displaystyle 1<x<2\) e \(\displaystyle x>2\)

Ok, quindi lascio tutto uguale ed aggiungo una riga.

Oltre ad aggiungere tale informazione devi eliminare quelle scorrette.

Oppure devo evidenziare l'interruzione dovuta al flesso da qualche parte?

Lo hai già fatto nello studio della derivata seconda, ti basta aggiungere dove si annulla.



In sintesi, l'esercizio lo risolvere nel seguente modo:

a. Indicare punti di minimo, massimo, flesso.

Per \(x=-2\) si rileva un punto di minimo locale a tangente orizzontale (derivata prima nulla).
Per \(x=1\) si rileva un punto di massimo locale a tangente orizzontale (derivata prima nulla).
Per \(x=2\) si rileva un punto di flesso a tangente obliqua (derivata seconda nulla).

b. Segno della derivata prima.

Per \(-2<x<0\) o \(0<x<1\) la funzione cresce (derivata prima positiva).
Per \(x<-2\) oppure \(x>1\) la funzione decresce (derivata prima negativa).

c. Segno della derivata seconda.

Per \(x<0\) o \(x>2\) la funzione ha concavità rivolta verso l'alto (derivata seconda positiva).
Per \(0<x<2\) la funzione ha concavità rivolta verso il basso (derivata seconda negativa).

Ok, grazie. E per quali valori si annulla la derivata prima? In questa riga scrivo:

\(\displaystyle f'(x)=0 \) per \(\displaystyle x=-2 \) e \(\displaystyle x=1 \)

In pratica, dallo studio della derivata prima non riesco a capire che in 2 c'è un flesso a tangente obliqua? In quel valore, cosa trovo dalla derivata prima? Solo che il punto non è nè di massimo nè di minimo, quindi lascia supporre che possa esserci un flesso?

Fosse stato un flesso a tangente orizzontale, già dallo studio della derivata prima avrei potuto capire qualcosa in più?

In pratica, dallo studio della derivata prima non riesco a capire che in 2 c'è un flesso a tangente obliqua?

Esatto.

In quel valore, cosa trovo dalla derivata prima?

Un numero reale negativo, così come per qualsiasi altro punto di ascissa \(x<-2\) o \(x>1\).

Fosse stato un flesso a tangente orizzontale, già dallo studio della derivata prima avrei potuto capire?

Sì, la derivata prima si annulla.


Potesse essere utile, se esiste finito il limite del rapporto incrementale: \[
f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\] la retta tangente al grafico di \(y = f(x)\) nel punto \((x_0,f(x_0))\) ha equazione cartesiana: \[
y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x-x_0).
\] Pertanto, lo studio della derivata prima di \(f\) ci rivela il segno del coefficiente angolare della retta tangente.
In particolare, se si annulla può trattarsi di un punto di minimo locale, di massimo locale oppure di flesso
a tangente orizzontale (come accade, ad esempio, nel caso di \(f(x)=x^3\) nel punto di ascissa \(x=0\)).

Ciò fatto, se si prosegue con lo studio della derivata seconda si possono ottenere delle informazioni circa la concavità e in tutti i punti in cui si annulla saranno di flesso: a tangente orizzontale se si annulla anche la derivata prima, a tangente obliqua altrimenti.