Calcolo volume solido di rotazione rispetto asse y

[sellacollesella]

Assegnata la regione di piano: \[
D:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x\le 1,\,0\le y\le\frac{xe^x+1}{2}\right\}
\] ruotandola prima attorno all'asse \(x\) e poi attorno all'asse \(y\) si ottengono due solidi di volume: \[
V_x=\pi\int_0^1\left(\frac{xe^x+1}{2}\right)^2\text{d}x=\frac{\pi}{16}\left(11+e^2\right),
\quad\quad
V_y=2\pi\int_0^1\left|x\,\frac{xe^x+1}{2}\right|\text{d}x=\frac{\pi}{2}\left(2e-3\right),
\quad\quad
\frac{V_x}{V_y}=\frac{11+e^2}{8(2e-3)}\approx 0.9434\,.
\] Questi sono i calcoli che avrei fatto basandomi sulle poche conoscenze acquisite alle superiori.

[giammaria]

No. Nella rotazione attorno all'asse x si deve integrare $pi y^2 dx$, quindi nella rotazione attorno all'asse y si deve integrare $pi x^2 dy$, ottenendo
$V_x=pi int_(f(0))^(f(1)) x^2 dy$
Con la sostituzione $y=f(x)->dy=f'(x)dx$ si ha
$V_x=pi int_0^1 x^2 f'(x)dx$

[sellacollesella]

Io mi sono attenuto al testo dell'esercizio:

a) Volume del solido ottenuto ruotando il sottografico di \(f\) attorno all'asse x: \(V_1=\frac{\pi}{16}\left(11+e^2\right)\).

b) Volume del solido ottenuto ruotando il sottografico di \(f\) attorno all'asse y: \(V_2=\frac{\pi}{2}\left(2e-3\right)\).


D'altro canto, è altrettanto vero che:

c) Volume del solido ottenuto ruotando il sopragrafico di \(f\) attorno all'asse y: \(V_3=\frac{\pi}{2}\left(4-e\right)\).

d) È quindi facile verificare che \(V_2+V_3=\frac{\pi}{2}\left(1+e\right)\), volume del cilindro da te menzionato.

[giammaria]

Domando scusa per una mia bestialità: il titolo mi veva fatto pensare che anche nel punto a si ruotasse attorno all'asse y, mentre era chiaramente detto che era attorno all'asse x. Correggendo, sono d'accordo.

[sellacollesella]

Nessun problema, l'importante è che abbiamo trovato un punto d'incontro. Comunque sono d'accordo che al primo punto abbiano scritto una castroneria pure loro, ruotando una curva si ottiene una superficie. Ciao!