In questo caso:
$sqrt(f(x))+sqrt(g(x))=sqrt(h(x))$
elevando al quadrato senza imporre condizioni:
$2sqrt(f(x)g(x))=h(x)-f(x)-g(x)$
si ricade nel caso sottostante:
$\{(4f(x)g(x)=[h(x)-f(x)-g(x)]^2),(h(x)-f(x)-g(x) gt= 0):}$
Quindi, volendo ottimizzare:
$\{(f(x) gt= 0),(g(x) gt= 0),(h(x)-f(x)-g(x) gt= 0):}$
Tuttavia, la prassi è imporre inizialmente tutte le condizioni di esistenza:
$\{(f(x) gt= 0),(g(x) gt= 0),(h(x) gt= 0):}$
anche se la terza:
$h(x) gt= 0$
potrebbe essere recuperata. Insomma, l'unica condizione di esistenza che puoi tralasciare inizialmente è proprio quella che ritenevi necessaria.