Angoli fra vettori

Messaggioda xshell » 01/09/2008, 17:55

Buongiorno.

Ho un problema con i vettori... In un problema mi sono assegnati le componenti di tre vettori di cui devo fare il prodotto misto.

a = 3i + 3j - 2k; b = - 1i - 4j + 2k; c = 2i + 2j + 1k. Dovrei svolgere il seguente prodotto misto: a(b x c).

Ho risolto il tutto utilizzando solo le componenti, ma ho poi provato a risolverlo ricavandomi la norma dei vettori e cercando di trovare gli angoli fra di essi.

Come posso ricavarmi gli angoli compresi tra due vettori che hanno tre componenti (una compresa per l'asse z)? Per i vettori su un piano xy io trovavo la tangente dividendo la componente j per la componente i e calcolando l'arcotangente.

EDIT: Ad esempio, in un altro problema mi si chiede quale sia l'angolo di inclinazione della diagonale di un cubo... il risultato del libro è circa 57 gradi... perché? Io pensavo 45°...

Ringrazio per eventuali risposte.
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Messaggioda minavagante » 01/09/2008, 18:36

a me l'angolo della diagoale quella in mezzo viene 35,26° :?
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Messaggioda xshell » 01/09/2008, 18:44

minavagante ha scritto:a me l'angolo della diagoale quella in mezzo viene 35,26° :?


E perché? Io non capisco né il tuo risultato né quello del libro... come hai fatto a calcolare l'angolo? O meglio, come si fa a calcolare l'angolo compreso fra due vettori conoscendo le componenti dei due vettori, avendo anche le componenti per l'asse Z? Comunque il risultato che dà il libro è 54,7°... prima ho scritto male.
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Messaggioda minavagante » 01/09/2008, 20:15

ah si allroa intende quell'altro angolo quindi 90-35,26=54,7...comuqnue, per i vettori non saprei...Per il cubo tu confondi la diagonale della faccia con la diagonale del cubo, prova a vedere se con queso suggerimento riesci a uscirne, e così farei anche coi vettori penso :D
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Messaggioda Maurizio Zani » 01/09/2008, 20:33

Usa il prodotto scalare: $costheta=(veca*vecb)/(|a||b|)$
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Messaggioda minavagante » 01/09/2008, 20:45

oh gesù è vero
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Messaggioda xshell » 01/09/2008, 23:33

Ok, grazie. Utilizzando le sole componenti come posso fare?

P.S: La diagonale del cubo non la riesco a trovare... io non riesco ad uscire dall'ottica di vedere il cubo lateralmente... così la diagonale mi sembra sempre la diagonale della faccia...
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Messaggioda minavagante » 02/09/2008, 08:57

col prodott scalare utilizzi le sole componenti...
Per il cubo, disegnati un cubo visto e traccia la diagonale dal vertice più in basso a sinistra a quello più in alto a destra. Quella lì è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha il cateto "orizzontale" lungo $sqrt(2)L$ in quanto è la diagonale di una faccia, mentre il cateto "verticale" è lungo L. L'arcotangente di $frac{L}{sqrt(2)L}$ ovvero di $1/sqrt2$ ti da l'angolo $theta$ d'inclinazione della diagonale del cubo rispetto al piano orizzontale. Il testo evidentemente chiedeva l'inclinazione rispetto al lato verticale del cubo, quindi $90-theta$. :D
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Messaggioda xshell » 03/09/2008, 09:41

Non avevo considerato la diagonale del quadrato come $sqrt(2)L$... e di conseguenza la diagonale del cubo mi risultava come la diagonale di una sua faccia. XD

Scusate se approfitto delle vostre conoscenze matematiche e fisiche, ma ho l'ultima difficoltà nei problemi vettoriali: in pratica il problema presenta il modulo di tre vettori $||a|| = 3$, $||b|| = 4$, $||c|| = 10$. Infine presenta un grafico con le loro rispettive posizioni: non potendolo rappresentare su un forum, vi descrivo un po' come sono messi. Il vettore $a$ è posto sul semiasse positivo delle ascisse; il vettore $b$ è inclinato di un angolo $\theta$ in senso antiorario rispetto al vettore $a$; il vettore $c$ forma, invece, col vettore $b$ un angolo di 90° ed è collocato nel II quadrante. Adesso mi si richiede di trovare tutte le componenti dei vettori.

Io sono quindi partito dal vettore $a$ e, considerando che è situato sull'asse delle ascisse, ho trovato facilmente le sue componenti: $a_x = 3i$ e $a_y = 0j$. Ma per trovare le componenti di $b$ e di $c$ avrei bisogno dell'angolo $\theta$ che non ho. XD
Ho quindi tentato di aprire, senza successo, due strade: una considerava il prodotto scalare di $b$ con $c$ (sò che l'angolo fra i due è 90° e conosco la norma di entrambi i vettori), l'altra il prodotto scalare di $a$ con $b$ (conosco le componenti di a e la norma dei vettori). Ma alla fine sembrerebbe che le strade siano invece dei vicoli ciechi... mi potreste aiutare? Grazie ancora. Ciao.
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Messaggioda Maurizio Zani » 03/09/2008, 13:16

Credo manchi qualche dato...
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