Altro problema di II grado in 2 incognite

Messaggioda Coppus » 12/04/2004, 19:41

Determinare il trapezio isoscele inscritto in un semicerchio di raggio r sapendo che ciascun lato obliquo è = alla semisomma delle basi. Risultato [lato obliquo r(sqrt5 -1).

Oltre alla soluzione sapreste darmi un consiglio su come approcciare al meglio questi tipi di problemi? Una volta fatta la figura ho difficoltà a costruire le relazioni.

Grazie!
-Coppus-


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Messaggioda MaMo » 12/04/2004, 23:57

Indichiamo con x il lato obliquo e con y la base minore del trapezio.
Dal testo si ha.
2x = 2r + y ===> y = 2x - 2r
L'altezza del trapezio si ricava applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato dal raggio del semicerchio, dall'altezza del trapezio e dalla metà della base minore. Si trova:
h = <img src=icon_smile_sleepy.gif border=0 align=middle>[r² -(x - r)²] = <img src=icon_smile_sleepy.gif border=0 align=middle>(2rx - x²)
L'altezza si può ricavare con Pitagora anche dal triangolo rettangolo formato dal lato obliquo, dall'altezza e dalla proiezione del lato sulla base maggiore del trapezio. Si ha:
h = <img src=icon_smile_sleepy.gif border=0 align=middle>[x² - (2r - x)²] = 2<img src=icon_smile_sleepy.gif border=0 align=middle>(rx - r²)
Uguagliando le due espressioni dell'altezza si ha l'uguaglianza:
2rx - x² = 4rx - 4 r²
cioè x² + 2rx - 4r² = 0.
L'unica soluzione positiva è x = r(<img src=icon_smile_sleepy.gif border=0 align=middle>5 - 1).
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