Basi e polinomi.

Mi chiedevo se per un polinomio generico irriducibile in $Q$ di terzo grado quindi con gruppo di Galois $S_3$ una base del suo campo di spezzamento risulta scritta per esteso ${1,x_1,x_1^2, x_2,x_1x_2,x_1^2x_2}$ quale sarà per un polinomio generico di quarto grado irriducibile in $Q$ con gruppo di Galois $S_4$, con soluzioni $x_1,x_2,x_3,x_4$?

Ci sono infinite basi. Ma se cerchi una base nello stesso stile, sarebbe
$\{x_1^ax_2^bx_3^c: 0\le a\le 3,0\le b\le 2,0\le c\le 1\}$.

Ok!
Sempre continuando con il polinomio di terzo grado sopra le cui soluzioni sono $(x_1,x_2,x_3)$,considerando $E//Q$ come spazio vettoriale,alcune basi sono:
${1,x_1,x_1^2,x_1x_2,x_1^2x_2,x_2}$

${1,x_2,x_2^2 , x_2x_1,x_2^2x_1,x_1}$

${1,x_3,x_3^2, x_3x_2,x_3^2 x_2,x_2}$

${1,x_3,x_3^2,x_3x_1,x_3^2 x_1,x_1}$

${1,x_2,x_2^2, x_2x_3,x_2^2x_3,x_3}$

${1,x_1,x_1^2, x_1x_3,x_1^2x_3,x_3}$


Come si può fare vedere che ne esistono Infinite?

Ogni spazio vettoriale non nullo su $QQ$ ha infinite basi.

Prendendo la base ${1,x_1,x_1^2,x_2,x_2 x_1 ,x_2x_1^2} $ ed applicando gli automorfismi del gruppo di galois ho ottenuto le altre basi sopra descritte, è chiaro che prendendo un $alpha$ $in$ $Q$ qualsiasi posso a partire da una base posso averne infinite del tipo $alpha, alphax_1,alphax_1^2,alphax_2,alphax_1x_2,alphax_1^2 $, c'è ne sono altre che hanno una forma diversa?

Ci sono infinite basi. Ma se cerchi una base nello stesso stile, sarebbe
$\{x_1^ax_2^bx_3^c: 0\le a\le 3,0\le b\le 2,0\le c\le 1\}$.

Usando quindi lo stesso metodo,sempre per la ricerca di una base per un polinomio generico di quarto grado, non compaiono ovviamente per quanto osservato in precedenza in una base i termini $x_3^3 $ ed $x_2^3$,però anche il termine $x_2^2$ oppure il termine $x_3^2$ a secondo della base scelta, perché?